Apa itu Diagram Pencar (Scatter Plot)?
Bayangkan kamu sedang mengamati hubungan antara dua hal, misalnya "Lama Belajar" dan "Nilai Ujian".
a. Jika kamu menggambar titik-titik data tersebut pada koordinat Kartesius ($x, y$), sekumpulan titik yang tersebar itu disebut Diagram Pencar.
b. Fungsinya: Untuk melihat apakah ada pola atau hubungan antara dua variabel tersebut. Apakah searah (naik bersama), berlawanan (satu naik, satu turun), atau tidak ada hubungan sama sekali.
Apa itu Persamaan Regresi Linear?
Setelah melihat titik-titik di diagram pencar, kita ingin membuat satu garis lurus yang paling mewakili semua titik tersebut. Garis ini disebut garis regresi.
Rumus umumnya adalah:
$$y = a + bx$$
a. $y$: Variabel yang dipengaruhi (contoh: Nilai Ujian).
b. $x$: Variabel yang mempengaruhi (contoh: Lama Belajar).
c. $a$: Konstanta (titik potong garis pada sumbu $y$ saat $x=0$).
d. $b$: Koefisien regresi atau gradien (menunjukkan seberapa besar pengaruh $x$ terhadap $y$).
Rumus Mencari Nilai $b$ dan $a$
Untuk mendapatkan nilai $a$ dan $b$ dari sekumpulan data ($n$ = jumlah data), gunakan langkah berikut:
Mencari Nilai $b$ (Kemiringan):
$$b = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$$
Mencari Nilai $a$ (Titik Potong):
$$a = \frac{\sum y - b(\sum x)}{n}$$
Atau bisa juga ditulis: $a = \bar{y} - b\bar{x}$ (di mana $\bar{y}$ dan $\bar{x}$ adalah rata-rata).
Keterangan Simbol:
a. $\sum x$: Jumlah total nilai $x$.
b. $\sum y$: Jumlah total nilai $y$.
c. $\sum xy$: Jumlah dari hasil perkali setiap $x$ dan $y$.
d. $\sum x^2$: Jumlah dari setiap nilai $x$ yang dikuadratkan.
e. $(\sum x)^2$: Hasil kuadrat dari jumlah total $x$.
Contoh Tabel Bantu Penghitungan
Agar tidak bingung saat memasukkan angka ke rumus,
biasanya kita membuat tabel seperti ini:
| $x$ |
$y$ |
$x^2$ |
$xy$ |
| $\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
| $\sum x$ |
$\sum y$ |
$\sum x^2$ |
$\sum xy$ |
Makna dari Nilai $b$
a. Jika $b$ bernilai positif (+):
Hubungan searah. Jika $x$ naik, maka $y$ ikut naik.
b. Jika $b$ bernilai negatif (-):
Hubungan berlawanan. Jika $x$ naik, maka $y$ justru turun.
Contoh
Soal 1: Hubungan Suhu dan Penjualan Es Krim
Data:
Suhu ($x$): 20, 25,
30, 35, 40
Penjualan ($y$): 10, 15,
20, 25, 30
Jumlah data ($n$) = 5
Langkah 1: Membuat Tabel Bantu
| $x$ |
$y$ |
$x^2$ |
$xy$ |
| 20 |
10 |
400 |
200 |
| 25 |
15 |
625 |
375 |
| 30 |
20 |
900 |
600 |
| 35 |
25 |
1.225 |
875 |
| 40 |
30 |
1.600 |
1.200 |
$\sum x$
= 150 |
$\sum y$
= 100 |
$\sum x^2$
= 4.750 |
$\sum xy$
= 3.250 |
Langkah 2: Menghitung Nilai $b$ (Kemiringan)
$$b = \frac{n(\sum xy) - (\sum
x)(\sum y)}{n(\sum x^2) - (\sum x)^2}$$
$$b = \frac{5(3.250) -
(150)(100)}{5(4.750) - (150)^2}$$
$$b = \frac{16.250 -
15.000}{23.750 - 22.500} = \frac{1.250}{1.250} = \mathbf{1}$$
Langkah
3: Menghitung Nilai $a$ (Konstanta)
$$a = \frac{\sum y - b(\sum
x)}{n}$$
$$a = \frac{100 - 1(150)}{5} =
\frac{100 - 150}{5} = \frac{-50}{5} = \mathbf{-10}$$
Jadi,
Persamaan Regresinya adalah: $y = -10 + 1x$
Gambar Diagram Pencar
Soal 2: Memprediksi Nilai Berdasarkan Jam Kursus
Data:
Jam
Kursus ($x$): 2, 4, 6
Kenaikan
Skor ($y$): 4, 7, 10
Jumlah data ($n$) = 3
Langkah
1: Tabel Bantu
| $x$ |
$y$ |
$x^2$ |
$xy$ |
| 2 |
4 |
4 |
8 |
| 4 |
7 |
16 |
28 |
| 6 |
10 |
36 |
60 |
| $\sum x = 12$ |
$\sum y = 21$ |
$\sum x^2 = 56$ |
$\sum xy = 96$ |
Langkah 2: Menghitung Nilai $b$
$$b = \frac{3(96) -
(12)(21)}{3(56) - (12)^2}$$
$$b = \frac{288 - 252}{168 -
144} = \frac{36}{24} = \mathbf{1,5}$$
Langkah
3: Menghitung Nilai $a$
$$a = \frac{21 - 1,5(12)}{3} =
\frac{21 - 18}{3} = \frac{3}{3} = \mathbf{1}$$
Persamaan
Regresi: $y = 1 + 1,5x$
Langkah
4: Prediksi (Jika Jam Kursus $x = 10$)
$$y = 1 + 1,5(10)$$
$$y = 1 + 15 = \mathbf{16}$$
Kesimpulan: Jika siswa mengambil kursus 10 jam, diprediksi kenaikan
skornya adalah 16 poin.
Gambar Diagram Pencar