$1$. Aljabar (Algebra)
SOAL $1$
Diketahui $x_1, x_2,$ dan $x_3$ adalah akar-akar dari persamaan polinomial $x^3 - 3x^2 + 5x - 7 = 0$. Tentukan nilai dari $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3$.
KUNCI JAWABAN:
$3$
PEMBAHASAN:
Alih-alih mencari akar secara individual, kita gunakan Teorema Vieta dan manipulasi fungsi.
Berdasarkan Vieta:
$\sum x_i = x_1 + x_2 + x_3 = 3$
$\sum x_i x_j = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 5$
Karena $x_i$ adalah akar polinomial, maka berlaku $x_i^3 = 3x_i^2 - 5x_i + 7$.
Jumlahkan untuk ketiga akar tersebut:
$\sum x_i^3 = 3\sum x_i^2 - 5\sum x_i + 21$
Kita butuh nilai $\sum x_i^2$:
$\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum x_i x_j $
$= (3)^2 - 2(5) = 9 - 10 = -1$
Substitusikan kembali ke persamaan jumlah pangkat tiga:
$\sum x_i^3 = 3(-1) - 5(3) + 21$
$= -3 - 15 + 21 = 3$
SOAL $2$
Tentukan nilai dari deret teleskopik berikut:
$\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n\sqrt{n+1} + (n+1)\sqrt{n}}$
KUNCI JAWABAN:
$\frac{9}{10}$
PEMBAHASAN:
Kenali pola pada penyebut. Faktorkan $\sqrt{n(n+1)}$ dari penyebut:
$n\sqrt{n+1} + (n+1)\sqrt{n}$
$= \sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})
Bentuk umum sukunya menjadi:
$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}$
Kalikan dengan akar sekawan $(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ pada pembilang dan penyebut:
$\frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}( (n+1) - n )}$
$= \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$
Pisahkan pecahannya:
$\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}$
$= \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$
Deret ini adalah deret teleskopik:
$\left( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \dots + \left( \frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}} \right)$
Suku-suku tengah akan saling menghilangkan, menyisakan:
$1 - \frac{1}{\sqrt{100}} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
SOAL $3$
Diberikan sistem persamaan non-linear dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif:
$x + y + xy = 71$
$x^2y + xy^2 = 880$
Tentukan nilai dari $x^2 + y^2$.
KUNCI JAWABAN:
$146$
PEMBAHASAN:
Lakukan substitusi variabel yang simetris. Misalkan $S = x + y$ dan $P = xy$.
Persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
$S + P = 71$
$S \cdot P = 880$$
Menurut Teorema Vieta, $S$ dan $P$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat:
$t^2 - 71t + 880 = 0$
Faktorkan persamaan tersebut dengan mencari dua bilangan yang jumlahnya $71$ dan hasil kalinya $880$. Bilangan tersebut adalah $16$ dan $55$.
$(t - 16)(t - 55) = 0$
Ada dua kasus:
Kasus $1$: $S = 16$ dan $P = 55$. Ini berarti $x+y=16$ dan $xy=55$. Karena $x, y$ bulat positif, akar dari $u^2 - 16u + 55 = 0$ adalah $5$ dan $11$. Ini valid.
Kasus $2$: $S = 55$ dan $P = 16$. Akar-akar dari $u^2 - 55u + 16 = 0$ bukanlah bilangan bulat (diskriminan bukan kuadrat sempurna). Kasus ini ditolak.
Maka, $x$ dan $y$ adalah $5$ dan $11$.
$x^2 + y^2 = S^2 - 2P$
$= 16^2 - 2(55) = 256 - 110$
$= 146$
$2$. Teori Bilangan (Number Theory)
SOAL $4$
Tentukan dua angka terakhir dari $3^{2026}$.
KUNCI JAWABAN:
$29$
PEMBAHASAN:
Mencari dua angka terakhir sama dengan mencari sisa pembagian $3^{2026} \pmod{100}$.
Kita dapat menggunakan Teorema Binomial untuk penyelesaian super cepat dengan memanipulasi basis menjadi dekat dengan kelipatan $10$.
$3^{2026} = (3^2)^{1013} = 9^{1013}$
$= (10 - 1)^{1013}$
Ekspansikan menggunakan Binomial Newton. Semua suku yang memuat $10^k$ untuk $k \ge 2$ akan habis dibagi $100$. Kita hanya perlu melihat dua suku terakhir:
$(10 - 1)^{1013} \equiv \binom{1013}{1} (10)^1 (-1)^{1012} + \binom{1013}{0} (10)^0 (-1)^{1013} \pmod{100}$
$\equiv 1013 \cdot 10 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \pmod{100}$
$\equiv 10130 - 1 \pmod{100}$
$\equiv 30 - 1 \equiv 29 \pmod{100}$
SOAL $5$
Tentukan bilangan bulat terbesar $n$ sedemikian sehingga $n + 10$ habis membagi $n^3 + 100$.
KUNCI JAWABAN:
$890$
PEMBAHASAN:
Kita manipulasi bentuk aljabar $n^3 + 100$ agar memunculkan faktor $(n + 10)$. Gunakan identitas jumlah pangkat tiga $a^3 + b^3$:
$n^3 + 100 = n^3 + 1000 - 900$
$= (n^3 + 10^3) - 900$
Faktorkan bagian pertama:
$(n + 10)(n^2 - 10n + 100) - 900$
Karena $(n + 10)$ pasti membagi $(n + 10)(n^2 - 10n + 100)$, maka agar $(n + 10)$ membagi keseluruhan ekspresi, $(n + 10)$ haruslah membagi $-900$.
Untuk mendapatkan bilangan bulat $n$ terbesar, nilai $n + 10$ haruslah faktor positif terbesar dari $900$.
$n + 10 = 900$
$n = 890$
SOAL $6$
Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(x, y)$ yang memenuhi persamaan Diophantine:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$
KUNCI JAWABAN:
$15$
PEMBAHASAN:
Kalikan kedua ruas dengan $12xy$ untuk menghilangkan pecahan:
$12y + 12x = xy$
Pindahkan semua suku ke satu ruas dan gunakan Simon's Favorite Factoring Trick (SFFT):
$xy - 12x - 12y = 0$
Tambahkan $12^2 = 144$ ke kedua ruas agar bisa difaktorkan:
$x(y - 12) - 12(y - 12) = 144$
$(x - 12)(y - 12) = 144$
Karena $x$ dan $y$ bulat positif, maka $(x - 12)$ dan $(y - 12)$ haruslah pasangan faktor dari $144$.
Banyaknya solusi pasangan $(x, y)$ sama dengan banyaknya pembagi positif dari $144$.
Faktorisasi prima $144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$.
Banyaknya pembagi (gunakan rumus fungsi tau $\tau$):
$(4 + 1)(2 + 1) = 5 \cdot 3 = 15$
Sehingga terdapat $15$ pasangan $(x, y)$ yang memenuhi.
$3$. Geometri Euclidean
SOAL $7$
Pada $\triangle ABC$, diketahui panjang sisi $AB = 3$, $AC = 6$, dan $BC = 7$. Garis bagi sudut dari titik $A$ memotong sisi $BC$ di titik $D$. Tentukan panjang garis bagi $AD$.
KUNCI JAWABAN:
$\frac{8}{3}$
PEMBAHASAN:
Berdasarkan Teorema Garis Bagi (Angle Bisector Theorem), rasio segmen di sisi depan sama dengan rasio sisi yang mengapit:
$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$
$= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Karena $BC = BD + CD = 7$, maka:
$BD = \frac{1}{1+2} \cdot 7$
$= \frac{7}{3}$
$CD = \frac{2}{1+2} \cdot 7$
$= \frac{14}{3}$
Gunakan rumus taktis untuk kuadrat panjang garis bagi dalam ($AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot CD$):
$AD^2 = (3)(6) - \left(\frac{7}{3}\right)\left(\frac{14}{3}\right)$
$AD^2 = 18 - \frac{98}{9} = \frac{162 - 98}{9}$
$= \frac{64}{9}$
$AD = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$
SOAL $8$
Dalam $\triangle ABC$, diketahui besar $\angle A = 60^\circ$ dan jari-jari lingkaran luarnya adalah $R = 10$. Jika $H$ adalah titik tinggi (orthocenter) dari segitiga tersebut, tentukan jarak dari titik $H$ ke titik sudut $A$.
KUNCI JAWABAN:
$10$
PEMBAHASAN:
Ini menguji pengenalan sifat khusus segitiga dan lingkaran luar. Terdapat sebuah teorema elegan yang menghubungkan jarak orthocenter ke titik sudut dengan jari-jari lingkaran luar (Circumradius).
Jarak dari orthocenter $H$ ke titik sudut $A$ dirumuskan sebagai:
$AH = 2R \cos A$
Substitusikan nilai yang diketahui:
$AH = 2(10) \cos(60^\circ)$
$AH = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$
SOAL $9$
Pada $\triangle ABC$, titik $D$ terletak pada $BC$ sehingga $BD : DC = 1 : 2$. Titik $E$ terletak pada $AC$ sehingga $AE : EC = 3 : 1$. Garis $AD$ dan $BE$ berpotongan di titik $F$. Jika luas $\triangle ABC$ adalah $140$, tentukan luas $\triangle ABF$.
KUNCI JAWABAN:
$42$
PEMBAHASAN:
Gunakan metode Geometri Titik Massa (Mass Point Geometry) untuk menghindari perhitungan Teorema Menelaus yang panjang.
Tempatkan massa pada titik-titik sudut sehingga menyeimbangkan segmen garis:
Massa menyeimbangkan segmen $BC$: $m_B \cdot BD = m_C \cdot CD \implies m_B(1) = m_C(2)$. Misalkan $m_C = 3$ dan $m_B = 6$.
Massa menyeimbangkan segmen $AC$: $m_A \cdot AE = m_C \cdot CE \implies m_A(3) = 3(1) \implies m_A = 1$.
Massa pada titik perpotongan $D = m_B + m_C = 6 + 3 = 9$.
Pusat massa $F$ membagi segmen $AD$ dengan rasio kebalikan massanya:
$\frac{AF}{FD} = \frac{m_D}{m_A} = \frac{9}{1}$
Artinya, $AF$ adalah $\frac{9}{10}$ dari total panjang $AD$.
Luas $\triangle ABD = \frac{1}{3} \cdot \text{Luas}(\triangle ABC)$ karena alas $BD = \frac{1}{3}BC$.
$\text{Luas}(\triangle ABD) = \frac{140}{3}$
Luas $\triangle ABF = \frac{9}{10} \cdot \text{Luas}(\triangle ABD)$ (berbagi tinggi yang sama dari $B$).
$\text{Luas}(\triangle ABF) = \frac{9}{10} \cdot \frac{140}{3} = \frac{1260}{30} = 42$
$4$. Kombinatorika (Combinatorics)
SOAL $10$
Tentukan banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ yang memenuhi persamaan:
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10$
dengan syarat $x_1 \ge 2$ dan $x_2 \ge 1$.
KUNCI JAWABAN:
$120$
PEMBAHASAN:
Gunakan metode Kombinasi dengan Pengulangan (Stars and Bars). Kita lakukan substitusi variabel untuk mengakali batasan batas bawah.
Misalkan $y_1 = x_1 - 2 \ge 0$ dan $y_2 = x_2 - 1 \ge 0$. Variabel $x_3$ dan $x_4$ sudah $\ge 0$, jadi biarkan $y_3 = x_3$ dan $y_4 = x_4$.
Substitusikan ke persamaan asal:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 1) + y_3 + y_4 = 10$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 7$
Sekarang kita mencari jumlah solusi bulat tak negatif untuk $4$ variabel dengan jumlah $7$. Gunakan rumus $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ di mana $n = 7$ (bintang) dan $k = 4$ (variabel/sekat):
$\binom{7 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{10}{3}$
$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
SOAL $11$
Seorang guru memiliki $5$ buku yang berbeda dan akan dibagikan kepada $5$ siswa (masing-masing siswa awalnya membawa satu buku tersebut). Berapa banyak cara membagikan buku-buku ini sedemikian sehingga tepat $2$ siswa menerima buku miliknya sendiri?
KUNCI JAWABAN:
$20$
PEMBAHASAN:
Soal ini adalah variasi dari Prinsip Inklusi-Eksklusi, spesifiknya tentang Kekacauan (Derangement), dilambangkan dengan $D_n$.
Langkah $1$: Pilih $2$ siswa yang akan menerima buku mereka sendiri. Banyak cara memilihnya adalah kombinasi $\binom{5}{2} = 10$ cara.
Langkah $2$: Tiga siswa sisanya TIDAK BOLEH menerima buku mereka sendiri. Ini adalah kasus derangement untuk $3$ objek ($D_3$).
Rumus umum $D_n = n!\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!}$.
$D_3 = 3! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right)$
$= 6 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)$
$= 6 \left( \frac{2}{6} \right) = 2$
Total cara pendistribusian adalah hasil kali dari kedua langkah:
$\text{Total} = \binom{5}{2} \cdot D_3 = 10 \cdot 2 = 20$
SOAL $12$
Terdapat sebuah graf sederhana tak berarah dengan $5$ simpul ($V_1$ hingga $V_5$). Matriks ketetanggaannya (adjacency matrix) diberikan oleh tabel di bawah ini, di mana elemen $1$ menandakan ada sisi yang menghubungkan dua simpul, dan $0$ menandakan tidak ada. Tentukan banyaknya segitiga (siklus dengan $3$ simpul) yang terbentuk di dalam graf tersebut.
KUNCI JAWABAN:
$5$
PEMBAHASAN:
Untuk mencari segitiga, kita bertugas menemukan kelompok $3$ simpul yang saling terhubung (clique berukuran $3$).
Perhatikan pola matriks di atas:
Simpul $V_1, V_2, V_3,$ dan $V_4$ semuanya saling terhubung satu sama lain (nilainya saling silang bernilai $1$). Ini membentuk sebuah complete graph $K_4$.
Banyaknya segitiga yang bisa dibentuk murni dari kumpulan simpul di dalam $K_4$ ini adalah kombinasi memilih $3$ simpul dari $4$:
$\binom{4}{3} = 4 \text{ segitiga}$
(Yaitu: $\{V_1, V_2, V_3\}, \{V_1, V_2, V_4\}, \{V_1, V_3, V_4\}, \{V_2, V_3, V_4\}$)
Selanjutnya periksa simpul $V_5$. Matriks menunjukkan bahwa $V_5$ HANYA terhubung ke $V_2$ dan $V_4$.
Agar $V_5$ membentuk segitiga, maka $V_2$ dan $V_4$ juga harus saling terhubung. Dari matriks, simpul $V_2$ dan $V_4$ memang terhubung (nilainya $1$). Maka ini membentuk $1$ segitiga tambahan: $\{V_2, V_4, V_5\}$.
Total keseluruhan segitiga yang ada pada graf = $4 + 1 = 5$.